Hva er eksponentiell distribusjon?
Den eksponensielle fordelingen refererer til den kontinuerlige og konstante sannsynlighetsfordelingen som faktisk brukes til å modellere den tidsperioden en person trenger å vente før den gitte hendelsen skjer, og denne fordelingen er en kontinuerlig motstykke til en geometrisk fordeling som i stedet er distinkt.
Eksponensiell distribusjonsformel
En kontinuerlig tilfeldig variabel x (med skalaparameter λ> 0) sies å ha en eksponensiell fordeling bare hvis dens sannsynlighetstetthetsfunksjon kan uttrykkes ved å multiplisere skalaparameteren til den eksponensielle funksjonen til minus skala parameter og x for alle x større enn lik null, ellers er sannsynlighetstetthetsfunksjonen lik null.
Matematisk er sannsynlighetstetthetsfunksjonen representert som,
slik at gjennomsnittet er lik 1 / λ og varians er lik 1 / λ2.
Beregning av eksponentiell fordeling (trinnvis)
- Trinn 1: For det første, prøv å finne ut om hendelsen under overveielse er kontinuerlig og uavhengig av natur og skjer med omtrent konstant hastighet. Enhver praktisk hendelse vil sikre at variabelen er større enn eller lik null.
- Trinn 2: Deretter bestemmer du verdien til skala-parameteren, som alltid er gjensidig av gjennomsnittet.
- λ = 1 / gjennomsnitt
- Trinn 3: Multipliser deretter skaleringsparameteren λ og variabelen x, og beregn deretter den eksponensielle funksjonen til produktet multiplisert med minus en, dvs. e– λ * x.
- Trinn 4: Til slutt beregnes sannsynlighetstetthetsfunksjonen ved å multiplisere den eksponensielle funksjonen og skalaparameteren.
Hvis formelen ovenfor gjelder for alle x større enn eller lik null, er x en eksponensiell fordeling.
Eksempel
Du kan laste ned denne Excel-malen for eksponentiell distribusjon her - Eksponensiell distribusjon Excel-mal
La oss ta eksemplet, x som er hvor lang tid det tar (i minutter) av et kontor for å levere fra lederens skrivebord til kontoristens skrivebord. Funksjonen til den tid det antas antas å ha en eksponentiell fordeling med gjennomsnittlig tid lik fem minutter.
Gitt at x er en kontinuerlig tilfeldig variabel siden tiden måles.
Gjennomsnitt, μ = 5 minutter
Derfor skaler parameter, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20
Derfor kan den eksponensielle fordelingssannsynlighetsfunksjonen utledes som,
f (x) = 0,20 e– 0,20 * x
Beregn nå sannsynlighetsfunksjonen ved forskjellige verdier av x for å utlede distribusjonskurven.
For x = 0
eksponensiell fordelings sannsynlighetsfunksjon for x = 0 vil være,
På samme måte beregner du eksponensiell fordelingssannsynlighetsfunksjon for x = 1 til x = 30
- For x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
- For x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
- For x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
- For x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
- For x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
- For x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
- For x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
- For x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
- For x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
- For x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
- For x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
- For x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
- For x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
- For x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
- For x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
- For x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
- For x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
- For x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
- For x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
- For x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
- For x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
- For x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
- For x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
- For x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
- For x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
- For x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
- For x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
- For x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
- For x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
- For x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
- For x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000
Vi har avledet fordelingskurve som følger,
Relevans og bruk
Selv om antagelsen om en konstant hastighet svært sjelden oppfylles i de virkelige verdensscenarioene, kan tidseksponeringen velges på en slik måte at hastigheten er omtrent konstant, så den eksponensielle fordelingen kan brukes som en god tilnærmet modell. Den har mange andre bruksområder innen fysikk, hydrologi, etc.
I statistikk og sannsynlighetsteori refererer uttrykket for eksponensiell fordeling til sannsynlighetsfordelingen som brukes til å definere tiden mellom to påfølgende hendelser som skjer uavhengig og kontinuerlig med en konstant gjennomsnittshastighet. Det er en av de mye brukte kontinuerlige distribusjonene, og det er strengt relatert til Poisson-fordelingen i Excel.