Normalfordelingsformel
Normalfordeling er en fordeling som er symmetrisk, dvs. positive verdier og fordelingens negative verdier kan deles i like halvdeler, og derfor vil middelverdi og modus være like. Den har to haler, den ene er kjent som høyre hale og den andre er kjent som den venstre halen.
Formelen for beregningen kan vises som
X ~ N (µ, α)
Hvor
- N = ingen observasjoner
- µ = gjennomsnitt av observasjonene
- α = standardavvik
I de fleste tilfeller avslører observasjonene ikke mye i sin råform. Så det er veldig viktig å standardisere observasjonene for å kunne sammenligne det. Det gjøres ved hjelp av z-score-formelen. Det er nødvendig å beregne Z-poengsummen for en observasjon.
Ligningen for Z Score Beregning for normalfordelingen er representert som følger,
Z = (X- µ) / a
Hvor
- Z = Z-poengsum for observasjonene
- µ = gjennomsnitt av observasjonene
- α = standardavvik
Forklaring
En fordeling er normal når den følger en bjellekurve. Det er kjent som klokkekurven, da det tar form av klokken. En av de viktigste egenskapene til en normal kurve er at den er symmetrisk, noe som betyr at de positive verdiene og de negative verdiene for fordelingen kan deles i like halvdeler. Et annet veldig viktig kjennetegn ved variabelen er at observasjonene vil være innenfor 1 standardavvik fra gjennomsnittet 90% av tiden. Observasjonene vil være to standardavvik fra gjennomsnittet 95% av tiden, og det vil være innenfor tre standardavvik fra gjennomsnittet 99% av tiden.
Eksempler
Du kan laste ned denne Excel-malen for normal distribusjonsformel her - Normal distribusjonsformel Excel-malEksempel 1
Gjennomsnittet av vektene til en elevklasse er 65 kg og vektenes standard er 0,5 kg. Hvis vi antar at fordelingen av retur er normal, så la oss tolke for vekten til studentene i klassen .
Når en fordeling er normal, ligger 68% av den innenfor 1 standardavvik, 95% ligger innenfor 2 standardavvik og 99% ligger med 3 standardavvik.
Gitt,
- Gjennomsnittlig avkastning for vekten vil være 65 kg
- Standardavvik vil være 3,5 kg
Så 68% av tiden verdien av fordelingen vil være i området som nedenfor,
- Øvre rekkevidde = 65 + 3,5 = 68,5
- Nedre område = 65-3,5 = 61,5
- Hver hale vil (68% / 2) = 34%
Eksempel 2
La oss fortsette med det samme eksemplet. Gjennomsnittet av vektene til en elevklasse er 65 kg og vektenes standard er 3,5 kg. Hvis vi antar at fordelingen av retur er normal, så la oss tolke den for vekten til studentene i klassen.
Gitt,
- Gjennomsnittlig avkastning for vekten vil være 65 kg
- Standardavvik vil være 3,5 kg
Så, 95% av tiden vil verdien av distribusjonen være i området som nedenfor,
- Øvre rekkevidde = 65 + (3,5 * 2) = 72
- Nedre område = 65- (3,5 * 2) = 58
- Hver hale vil (95% / 2) = 47,5%
Eksempel 3
La oss fortsette med det samme eksemplet. Gjennomsnittet av vektene til en elevklasse er 65 kg og vektenes standard er 3,5 kg. Hvis vi antar at fordelingen av retur er normal, så la oss tolke den for vekten til studentene i klassen.
Gitt,
- Gjennomsnittlig avkastning for vekten vil være 65 kg
- Standardavvik vil være 3,5 kg
Så, 99% av tiden vil verdien av fordelingen være i området som nedenfor,
- Øvre rekkevidde = 65+ (3,5 * 3) = 75,5
- Nedre område = 65- (3,5 * 3) = 54,5
- Hver hale vil (99% / 2) = 49,5%
Relevans og bruk
Normalfordelingen er et veldig viktig statistisk begrep, da de fleste tilfeldige variabler i finansverdenen følger en slik kurve. Det spiller en viktig rolle i konstruksjonen av porteføljer. Bortsett fra økonomi, blir det funnet mange virkelige parametere som følger en slik fordeling. Som for eksempel hvis vi prøver å finne høyden på elevene i en klasse eller vekten til studentene i en klasse, blir observasjonene fordelt normalt. Tilsvarende følger karakterene til en eksamen den samme fordelingen. Det hjelper å normalisere karakterer i en eksamen hvis de fleste studentene scoret under bestått karakter ved å sette en grense for å si bare de som ikke klarte å score under to standardavvik.